Messwertanalyse mit Mathematica
(direkter Halbleiter)

Computeralgebraprogramme gehören heute zum selbstverständlichen Werkzeug des Physikers. Sie sind  für die Lösung anspruchsvoller numerischer und analytischer Aufgabenstellungen hervorragend geeignet, und können  auch bei  Messwertanalysen vorteilhaft eingesetzt werden. Im Folgenden wird beispielhaft die Lösung von Fragestellungen mit Mathematica behandelt, die im Versuch Festkörperoptik - Bandparameter und optische Konstanten zu lösen sind.

1. Voreinstellungen
Zunächst müssen Programmpakete geladen werden, die für die weitere Datenverarbeitung  benötigt werden. Dies geschieht mit der Anweisung << gefolgt von dem entsprechenden Programmpaket. Um den Graphiken ein einheitliches Aussehen zu geben, werden mit der Anweisung SetOptions[...] Voreinstellungen für die Plotfunktionen MultipleListPlot, Plot, LogPlot und LogLogPlot getroffen. Bei Ausführung der jeweiligen Plotfunktion wird immer ein Rahmen und ein Gitter gezeichnet, mehrere Figuren in einem Plot werden farblich unterschieden. Weitere Einstellmöglichkeiten können über die Anweisung Options[...] abgefragt werden.

\(\(\(Clear["Global`*"]\)\(
\)\(
\)
    \) (*Laden\ der\ Programmpakete*) \)
<< Statistics`DataSmoothing`
<< NumericalMath`NLimit`
<< Graphics`
<< Graphics`Legend`
<< 
      Graphics`MultipleListPlot`



     (*Voreinstellungen für alle Plotanweisungen*) 
SetOptions[MultipleListPlot, PlotJoined -> True, 
        Frame -> True, GridLines -> Automatic, 
        TextStyle -> {FontFamily -> Times, FontSize -> 12, 
            FontWeight -> Bold}, 
        FrameStyle -> {{ Thickness[0.0055]}, { Thickness[0.0055]}, { 
              Thickness[0.0055]}, { Thickness[0.0055]}}, 
        FrameTicks -> Automatic, 
        PlotStyle -> {{Hue[1], Thickness[0]}, {Hue[0.8], 
              Thickness[0]}, {Hue[0.4], Thickness[0]}, {Hue[0.2], 
              Thickness[0]}}, ErrorBarFunction -> None, 
        SymbolShape -> None];

    
SetOptions[Plot, Frame -> True, GridLines -> Automatic, 
        TextStyle -> {FontFamily -> Times, FontSize -> 12, 
            FontWeight -> Bold}, 
        PlotStyle -> {{Hue[1], Thickness[0]}, {Hue[0.8], 
              Thickness[0]}, {Hue[0.4], Thickness[0]}, {Hue[0.2], 
              Thickness[0]}}, 
        FrameStyle -> {{ Thickness[0.0055]}, { Thickness[0.0055]}, { 
              Thickness[0.0055]}, { Thickness[0.0055]}}, 
        FrameTicks -> Automatic];

    
SetOptions[LogPlot, Frame -> True, 
        GridLines -> Automatic, 
        TextStyle -> {FontFamily -> Times, FontSize -> 12, 
            FontWeight -> Bold}, 
        PlotStyle -> {{Hue[1], Thickness[0]}, {Hue[0.8], 
              Thickness[0]}, {Hue[0.4], Thickness[0]}, {Hue[0.2], 
              Thickness[0]}}, 
        FrameStyle -> {{ Thickness[0.0055]}, { Thickness[0.0055]}, { 
              Thickness[0.0055]}, { Thickness[0.0055]}}, 
        FrameTicks -> Automatic];

    
SetOptions[LogLogPlot, Frame -> True, 
        GridLines -> Automatic, 
        TextStyle -> {FontFamily -> Times, FontSize -> 12, 
            FontWeight -> Bold}, 
        PlotStyle -> {{Hue[1], Thickness[0]}, {Hue[0.8], 
              Thickness[0]}, {Hue[0.4], Thickness[0]}, {Hue[0.2], 
              Thickness[0]}}, 
        FrameStyle -> {{ Thickness[0.0055]}, { Thickness[0.0055]}, { 
              Thickness[0.0055]}, { Thickness[0.0055]}}, 
        FrameTicks -> Automatic];

2. Das Einlesen und die Darstellung von Daten
Die zu verarbeitenden Daten sollten als Datenpunkttabellen gespeichert sein. Wie die Datenpunkttabellen zu erzeugen sind, ist der Bedienungsanleitung für das Fourier-Spektrometer zu entnehmen. Durch SetDirectory["..."] wird der Ort festgelegt, an dem die Daten gespeichert wurden. Es ist nur der Pfad anzugeben, z.B. C:\Dokumente und Einstellungen\........... Der aktuelle Pfad kann mit Directory[] überprüft werden. Durch die Anweisung Import[...] werden die Daten als Liste eingelesen und unter dem vorausgehenden Namen gepeichert. Die Listen können dann mit den entsprechenden Graphikanweisungen dargestellt werden. Im folgenden Beispiel werden Transmissions- und Reflexionspektren eingelesen und dargestellt. Alle Energien werden in der spektroskopischen Notation in Abhängigkeit von der Wellenzahl ν angegeben.

\(\(\( (*Überprüfung\ der\ Pfadeinstellung*) \)\(
\)\(\(Directory[];\)

 (*Falls\ erforderlich, \ 
      Eingabe\ eines\ neuen\ Pfades*) 

    \(SetDirectory["C:\Dokumente und Einstellungen\Edwin Batke\Desktop\Extrahierte Dateien\Final measurements"];\)

 (*Einlesen\ der\ \(Datenfiles : 
Die\ Daten\ werden\ in\ Listen\ mit\ den\ Namen\ transexp2\ und\ transexp1\ \(\(eingelesen\)\(.\)\)\)\ *) 


    \(transexp2 = 
        Import["T-GaAs-dot-TQ-8cm-1.DPT", "Table"];\)

    \(transexp1 = 
        Import["T-GaAs-dot-GK-8cm-1.DPT", "Table"];\)

 (*Darstellung\ der\ Daten\ und\ Beschriftung\ der\ Figur*) 

    MultipleListPlot[{transexp1}, PlotRange -> {{350, 7000}, {0, 0.7}}, 
      FrameLabel -> {\*""wave numbers ((cm^(-1)))"", "Transmission"}, PlotLegend -> {"440 µm"}, 
      LegendLabel -> "n-dot-GaAs"]


    MultipleListPlot[{transexp2}, 
      PlotRange -> {{2000, 12000}, {0, 0.7}}, 
      FrameLabel -> {\*""wave numbers ((cm^(-1)))"", "Transmission"}, PlotLegend -> {"440 µm"}, 
      LegendLabel -> "n-dot-GaAs"]

 (*Man\ verfahre\ in\ gleicher\ Weise\ für\ die\ Messung\ in\ Reflexion\ wie\ in\ Transmission*) 

 (*Einlesen\ der\ Daten\ und\ graphische\ Darstellung*) 

    \(reflexp2 = 
        Import["R-GaAs-dot-TQ-8cm-1.DPT", "Table"];\)

    \(reflexp1 = 
        Import["R-GaAs-dot-GK-8cm-1.DPT", "Table"];\)


    MultipleListPlot[{reflexp1}, PlotRange -> {{350, 7000}, {0.0, 0.7}}, 
      FrameLabel -> {\*""wave numbers ((cm^(-1)))"", "Reflexion"}, PlotLegend -> {"440 µm"}, 
      LegendLabel -> "n-dot-GaAs"]


    MultipleListPlot[{reflexp2}, 
      PlotRange -> {{2000, 12000}, {0.0, 0.7}}, 
      FrameLabel -> {\*""wave numbers ((cm^(-1)))"", "Reflexion"}, PlotLegend -> {"440 µm"}, 
      LegendLabel -> "n-dot-GaAs"]


    \)\)\)

3. Das Zusammenfügen von Spektren
Der Strahlteiler und die Quelle bestimmen wesentlich den nutzbaren Messbereich eines Fourierspektrometers. Um in einem weiten Frequenzbereich ein gutes Signal-Rausch-Verhältnis zu erhalten, müssen Strahlteiler und Quelle unter Umständen gewechselt werden. Einzelspektren, die bei verschiedenen Strahlteiler-Quelle-Kombinationen gemessen wurden, können dann zu einem Gesamtspektrum zusammengefügt werden. Das Zusammenfügen erfolgt in mehreren Schritten. Zunächst werden aus den experimentellen Listen durch Interpolation Funktionen generiert, die dann genutzt werden, um eine Tabelle zu erzeugen. Der Übergang zwischen den Einzelspektren  wird unter Umständen nicht perfekt sein, es ist deshalb erforderlich, einen multiplikativen Faktor einzufügen, der beide Spektren im Übergangsbereich zur Deckung bringt. Da in der Kombination aus Wolfram-Lampe und Quarz-Strahlteiler Nichtlinearitäten des Detektors eine größere Rolle spielen als in der Kombination Globar-KBr, sollte die Messung in der Kombination Globar-KBr als Referenz dienen. Schließlich sollte noch überprüft werden, ob die Summe aus Reflexion und Transmission im gesamten Wellenzahlbereich kleiner gleich 1 ist. Wird der Wert 1 überschritten, ist von einem Messfehler auszugehen.

\(\(\( (*Aus\ den\ experimentellen\ Daten\ werden\ Interpolationsfunktionen\ erzeugt*) \)\(
\)\(\(transint1 = 
        Interpolation[transexp1, 
          InterpolationOrder -> 1];\)

    \(transint2 = 
        Interpolation[transexp2, 
          InterpolationOrder -> 
            1];\)

 (*Spektren\ sollen\ bei\ 4100\ cm - 1\ zusammengefügt\ werden, \ 
      Definition\ der\ Übergangsfrequenz\ *) 

    \(übergang = 
        4100;\)

 (*Eingane\ eines\ multiplikativen\ Faktors\ für\ den\ höheren\ Wellenzahlbereich*) 

    \(tfaktor = 
        1.0355;\)

 (*Erzeugung\ einer\ Tabelle\ aus\ den\ Interpolationsfunktionen, \ 
      wobei\ der\ Frequenzbereich\  > \ 
        4100\ cm - 
          1\ mit\ dem\ Faktor\ tfaktor\ multipliziert\ wird*) 

    \(trans = 
        Table[{ν, 
            If[ν ≤ übergang, transint1[ν], 
              tfaktor*transint2[ν]]}, {ν, 350, 12000, 
            0.3}];\)

 (*Darstellung\ der\ zusammengefügten\ Spektren*) 

    MultipleListPlot[{trans}, PlotRange -> {{350, 12000}, {0, 0.7}}, 
      FrameLabel -> {\*""wave numbers ((cm^(-1)))"", "Transmission"}, PlotLegend -> {"440 µm"}, 
      LegendLabel -> "n-dot-GaAs"]

 (*Wiedergabe\ des\ Übergangbereichs\ im\ Wellenzahlbereich\ von\ 4095\ und\ 4105\ cm - 
        1\ zur\ Überprüfung\ der\ Größe\ des\ multiplikativen\ Faktors\ tfactor*) 

    MultipleListPlot[{trans}, 
      PlotRange -> {{übergang - 5, übergang + 
              5}, {0.35, 0.45}}, 
      FrameLabel -> {\*""wave numbers ((cm^(-1)))"", "Transmission"}, PlotLegend -> {"440 µm"}, 
      LegendLabel -> "n-dot-GaAs"]

 (*Man\ verfahre\ für\ die\ Refexionsspektren\ analog\ wie\ für\ die\ Transmissionspektren*) 


     (*Aus\ den\ experimentellen\ Daten\ werden\ Interpolationsfunktionen\ erzeugt*) \(reflint1 = 
        Interpolation[reflexp1, 
          InterpolationOrder -> 1];\)

    \(reflint2 = 
        Interpolation[reflexp2, 
          InterpolationOrder -> 
            1];\)

 (*\ 
      Eingabe\ des\ multiplikativen\ Faktors\ für\ den\ höheren\ Wellenzahlbereich*) 

    \(rfaktor = 1.023;\)


     (*Erzeugung\ einer\ Tabelle\ aus\ den\ Interpolationsfunktionen, \ 
      wobei\ der\ Frequenzbereich\  > \ 
        4100\ cm - 
          1\ mit\ dem\ Faktor\ rfaktor\ multipliziert\ wird*) \(refl = 
        Table[{ν, 
            If[ν ≤ übergang, reflint1[ν], 
              rfaktor*reflint2[ν]]}, {ν, 350, 12000, 
            0.3}];\)

 (*Darstellung\ der\ zusammengefügten\ Spektren*) 

    MultipleListPlot[{refl}, PlotRange -> {{350, 12000}, {0, 0.7}}, 
      FrameLabel -> {\*""wave numbers ((cm^(-1)))"", "Reflexion"}, PlotLegend -> {"440 µm"}, 
      LegendLabel -> "n-dot-GaAs"]

 (*Wiedergabe\ des\ Übergangbereichs\ im\ Wellenzahlbereich\ von\ 4095\ und\ 4105\ cm - 
        1\ zur\ Überprüfung\ der\ Größe\ des\ multiplikativen\ Faktors\ rfactor*) 

    MultipleListPlot[{refl}, 
      PlotRange -> {{übergang - 5, übergang + 
              5}, {0.33, 0.38}}, 
      FrameLabel -> {\*""wave numbers ((cm^(-1)))"", "Reflexion"}, PlotLegend -> {"440 µm"}, 
      LegendLabel -> "n-dot-GaAs"]

 (*Überprüfe\ ob\ die\ Summe\ aus\ Transmision\ und\ Reflexion\  ≤ \ 
        1\ ist; 
Aus\ den\ Tabellen\ für\ die\ Transmission\ und\ Reflexion\ werde\ Interpolationsfunktionen\ gebildet, \ 
      deren\ Summe\ dann\ mit\ der\ Plot - 
        Anweisung\ dargestellt\ \(\(wird\)\(.\)\)*) 

    \(transint = 
        Interpolation[trans, 
          InterpolationOrder -> 1];\)

    \(reflint = 
        Interpolation[refl, 
          InterpolationOrder -> 
            1];\)


    Plot[{transint[ν] + reflint[ν]}, {ν, 350, 12000}, 
      PlotRange -> {0. , 1.1}, 
      FrameLabel -> {\*""wave numbers ((cm^(-1)))"", "Reflexion+Transmission"}, 
      PlotLabel -> "n-dot-GaAs, 440 µm"]\)\)\)

4. Das Glätten von Spektren
Wenn das Signal-Rausch-Verhältnis nicht optimal ist, kann es sinnvoll sein, die Spektren zu glätten. Mit dieser Option sollte man aber vorsichtig umgehen, um feine spektrale Strukturen nicht zu verwischen. Als Beispiel wird das Glätten der Reflexionsspektren demonstriert, wobei  die Anweisung ExponentialSmoothing[..., x] eingesetzt wird. Der Smoothing-Parameter x wird dabei in einem weiten Bereich variiert. Um die Spektren besser miteinander vergleichen zu können, werden die geglätteten Spektren um einen konstanten Faktor (0.05 bzw. 0.1) zueinander verschoben.

\(\(\( (*Brechnung\ geglätteter\ Spektren\ für\ drei\ unterschiedliche\ Glättungsparameter\ mit\ graphischer\ Darstellung*) \)\(
\)\(\(reflsmooth1 = 
        Interpolation[ExponentialSmoothing[refl, 0.1], 
          InterpolationOrder -> 1];\)

    \(reflsmooth2 = 
        Interpolation[ExponentialSmoothing[refl, 0.01], 
          InterpolationOrder -> 1];\)

    \(reflsmooth3 = 
        Interpolation[ExponentialSmoothing[refl, 0.001], 
          InterpolationOrder -> 
            1];\)


    Plot[{reflsmooth1[ν], reflsmooth2[ν] + 0.05, 
        reflsmooth3[ν] + 0.1}, {ν, 350, 12000}, 
      PlotRange -> {0. , 0.5}, 
      FrameLabel -> {\*""wave numbers ((cm^(-1)))"", "Reflexion"}, 
      PlotLegend -> {"R, x = 0.1", "R+0.05, x = 0.01", "R+0.1, x = 0.001"}, LegendPosition -> {1, \(-0.3\)}, 
      LegendShadow -> {0, 0}, LegendLabel -> "n-dot-GaAs,
 440 µm"]\)\)\)

5. Ermittlung der optischen Konstanten aus Reflexion und Transmission
Sind die Transmission transexp und die Reflexion reflexp einer planparallelen Probe in einem weiten Wellenzahlbereich bekannt, kann durch einen Vergleich mit einem theoretischen Modell, das die Transmission transth(n, κ) und Reflexion reflth(n, κ) in Abhängigkeit von der Brechzahl n und dem Extinktionskoeffizienten κ angibt, die Wellenzahlabhängigkeit beider Größen bestimmt werden. Prinzipiell muss eine Nullstellensuche durchgeführt werden, wobei n und κ so zu bestimmen sind, dass die Gleichungen transexp-transth(n, κ) = 0 und reflexp-reflth(n, κ) = 0 simultan erfüllt sind. Im folgenden Beispiel wird bei der Nullstellensuche nicht auf die  experimentellen Spektren reflexp und transexp, sondern auf die aus ihnen gewonnen Interpolationsfunktionen reflint und transint zurückgegriffen. Beim theoretischen Modell gehen wir vom allgemeineren Fall einer planparallelen Schicht mit unterschiedlichen Reflexionseigenschaften für die vordere (1) und rückseitige (2) Grenzfläche aus. Phasenbeziehungen zwischen den vielfach in der Schicht reflektierten Strahlen werden nicht berücksichtigt, d.h. es werden nur die Strahlintensitäten aufsummiert.

\(\(\( (*Eingabe\ der\ Parameter*) \)\(
\)\(Print["Schichtdicke in cm"]

    d = 440*10^\(-4\)

    Print["Abweichung der Reflexion für vordere und hintere Grenzfläche vom idealen Verhalten"]

    Δrg1 = 0.0

    Δrg2 = 
      0.0

 (*Reflexion\ einer\ idealen\ Grenzfläche\ in\ Abhängigkeit\ von\ n\ und\ κ*) 

    \(rg = \(\((n - 1)\)^2 + κ^2\)\/\(\((n + 1)\)^2 + κ^2\);\)

 (*Absorptionskoeffizient*) 

    \(β = 
        4*π*Abs[κ]*ν;\)

 (*Theoretische\ Ausdrücke\ für\ Transmission\ und\ Reflexion; \ 
      Annahme : \ 
        unterschiedliche\ Reflexion\ für\ vordere\ und\ hintere\ Grenzfläche\ möglich*) 

    \(transth = \(\((1 - rg - Δrg1)\) \((1 - rg - Δrg2)\)*Exp[\(-β\)*d]\)\/\(1 - \((rg - Δrg1)\)*\((rg - Δrg2)\)*Exp[\(-2\)*β*d]\);\)

    \(reflth = 
        rg - Δrg1 + \(\((\((1 - \((rg + Δrg1)\))\)^2)\)*\ \((rg - Δrg2)\)*Exp[\(-2\)*β*d]\)\/\(1 - \((rg - Δrg1)\)*\((rg - Δrg2)\)*Exp[\(-2\)*β*d]\);\)

 (*Nullstellensuche\ zur\ Bestimmung\ der\ optischen\ Konstanten*) 

    \(sol = 
        Table[{ν, 
            FindRoot[{transth - transint[ν] == 0, 
                reflth - reflint[ν] == 0}, {n, 1.1, 0. , 
                4. }, {κ, 0. , 0. , 100}, Compiled -> True, 
              DampingFactor -> 1, MaxIterations -> 25]}, {ν, 
            350, 12000, 
            8}];\)

 (*Bildung\ der\ Brechzahl\ aus\ der\ Lösung\ der\ Nullstellensuche\ und\ graphische\ Darstellung*) 

    \(brechzahl = 
        Table[{sol[\([j, 1]\)], n /. \(sol[\([j, 2]\)]\)[\([1]\)]}, {j, 1, 
            Length[\(Transpose[sol]\)[\([1]\)]]}];\)

    MultipleListPlot[{brechzahl}, 
      FrameLabel -> {\*""wave numbers ((cm^(-1)))"", "Brechzahl"}, PlotRange -> {0, 4}, 
      PlotLegend -> {"440 µm"}, 
      LegendLabel -> "n-dot-GaAs"]

 (*Bildung\ des\ Extinktionskoeffizienten\ aus\ der\ Lösung\ der\ Nullstellensuche\ und\ graphische\ Darstellung*) 

    \(extinktionskoeffizient = 
        Table[{sol[\([j, 
                1]\)], κ /. \(sol[\([j, 2]\)]\)[\([2]\)]}, {j, 1, 
            Length[\(Transpose[sol]\)[\([1]\)]]}];\)

    MultipleListPlot[{extinktionskoeffizient}, 
      FrameLabel -> {\*""wave numbers ((cm^(-1)))"", "Extinktionskoeffizient"}, PlotRange -> {0, 0.01}, 
      PlotLegend -> {"440 µm"}, 
      LegendLabel -> "n-dot-GaAs"]

 (*Berechnung\ des\ Absorptionskoeffizienten\ und\ graphische\ Darstellung*) 

    \(absorptionskoeffizient = 
        Table[{sol[\([j, 1]\)], 
            4*π*sol[\([j, 1]\)]*κ /. \(sol[\([j, 
                    2]\)]\)[\([2]\)]}, {j, 1, 
            Length[\(Transpose[sol]\)[\([1]\)]]}];\)

    MultipleListPlot[{absorptionskoeffizient}, 
      FrameLabel -> {\*""wave numbers ((cm^(-1)))"", "Absorptionskoeffizient (cm-1)"}, PlotRange -> {0, 100}, 
      PlotLegend -> {"440 µm"}, 
      LegendLabel -> "n-dot-GaAs"]


    \)\)\)

6. Umrechnung von n und κ in (ϵ^′) und (ϵ^″)
Bei der Umrechnung werden folgende Relationen angewandt: (ϵ^′) = (n^2) - (κ^2), (ϵ^″) = 2nκ. Die Berechnung wird durchgeführt, indem aus den Listen für die Brechzahl und den Extinktionskoeffizienten wieder Interpolationsfunktionen gebildet werden, die dann für die weitere Auswertung verwendet werden.

\(\(\( (*Bildung\ der\ Interpolationsfunktionen\ für\ die\ Brechzahl\ und\ den\ Extinktionskoeffizeinten*) \)\(
\)\(\(brechzahlint = 
        Interpolation[brechzahl, 
          InterpolationOrder -> 1];\)

    \(extinktionskoeffizientint = 
        Interpolation[extinktionskoeffizient, 
          InterpolationOrder -> 
            1];\)

 (*Real - \ 
        und\ Imaginärteil\ von\ ϵ*) 

    \(ϵr = 
        brechzahlint[ν]^2 - 
          extinktionskoeffizientint[ν]^2;\)

    \(ϵi = 
        2*brechzahlint[ν]*
          extinktionskoeffizientint[ν];\)

 (*Darstellung\ des\ Realteils\ von\ ϵ*) 

    Plot[{ϵr}, {ν, 350, 12000}, PlotRange -> {5, 15}, 
      FrameLabel -> {\*""wave numbers ((cm^(-1)))"", "Realteil von ϵ"}, 
      PlotLabel -> "n-dot-GaAs, 440 µm"]


 (*Darstellung\ des\ Imaginärteils\ von\ ϵ*) 

    Plot[{ϵi}, {ν, 350, 12000}, PlotRange -> {0. , 0.05}, 
      FrameLabel -> {\*""wave numbers ((cm^(-1)))"", "Imaginärteil von ϵ"}, 
      PlotLabel -> "n-dot-GaAs, 440 µm"]

    \)\)\)

7. Interbandabsorption: Bestimmung der Bandlücke Eg und des Impulsmatrixelementes (Subscript[P, cv]) für einen direkten Halbleiter: 
Für direkte Interbandübergänge an der fundamentalen Bandlücke gilt: (ϵ^″)(ω) = \(\(\(e\^2\) \((2  µ)\)\^\(3/2\) | P\_cv\( | \^2\)\)\/\(h\ \(ϵ\_0\) m\_e\%2\)\)((Sqrt[ℏω - (Subscript[E, g])])/(((ℏω))^2)), wobei µ die reduzierte Masse aus den effektiven Massen des Leitungs- und Valenzbandes ist,  und \(\(\(|\)\(P\_cv\)\(|\)\(\ \)\(ist\ der\ Betrag\ des\ \(\(Impulsmatrixelementes\)\(.\)\(\ \)\)\)\)\)Unter der Annahme, dass das experimentell erhaltene \(ϵ\_exp\%\(\^″\)\)(ω) die obige Frequenzabhängigkeit zeigt,  wird  bei einer Auftragung \(\([\ \(ϵ\_exp\%\(\^″\)\) \((ω)\) ω\^2]\)\^2\) bzw. ((( (Subscript[β, exp])*ω))^2)= (([((ω^2)/c) (((ϵ^″)(ω))/n)])^2) gegen ω eine Gerade erwartet, aus der durch Extrapolation auf die Frequenzachse die Energielücke und aus der Steigung das Matrixelement bestimmt werden kann.

\(\(\( (*Eingabeparameter*) \)\(
\)\(Print["Energielücke in cm-1"]

    νg = 11075

    Print[\*""effektive Elektronenmasse in (Subscript[m, e])""]

    mc = 0.067

    Print[\*""effektive Lochmasse in (Subscript[m, e])""]

    mv = 0.082

    Print[\*""Matrixelement in 10^-25 \!\(\(kg\\ m\)\/s\)""]

    pcv = 
      2.2

 (*Berechnung\ der\ reduzierten\ Masse\ in\ m\_e*) 

    \(red = \(mc*mv\)\/\(mc + mv\);\)

 (*Vergleich\ von\ Experiment\ [\ \(ϵ\_exp\%\(\^″\)\) \((ω)\) ω\^2]\^2\ und\ Theorie[\ \(ϵ\^\(\^″\)\) \((ω)\) ω\^2]\^2*) 


    Plot[{\((1.26*10^45)\) ϵi^2*ν^4, 
        2.711*10^57*red^3  pcv^4\ \((ν - νg)\) 
          If[ν ≤ νg, 0, 1]}, {ν, 10500, 11500}, 
      PlotRange -> {0, 4*10^56}, 
      FrameLabel -> {\*""wave numbers ((cm^(-1)))"", \*""((ϵ^″)*(ω^2))^2 ((s^(-4)))""}, PlotLegend -> {"experiment", "theory"}, 
      LegendPosition -> {1, \(-0.3\)}, LegendShadow -> {0, 0}, 
      PlotLabel -> "n-dot-GaAs,
 440 µm"]

 (*Vergleich\ von\ Experiment\ [\(β\_exp\) \((ω)\) ω]\^2\ und\ Theorie\ [β \((ω)\) ω]\^2*) 


    Plot[{1.4*10^28 \((\(ϵi*ν^2\)\/brechzahlint[ν])\)^2, 
        3*10^40 \( red^3\ pcv^4\)\/brechzahlint[ν]^2\ \((ν - νg)\) If[ν ≤ νg, 0, 1]}, {ν, 10500, 11500}, 
      PlotRange -> {0, 4*10^38}, 
      FrameLabel -> {\*""wave numbers ((cm^(-1)))"", \*""[(ϵ^″)*(ω^2)/(c n)]^2 ((m^(-2))(s^(-2)))""}, 
      PlotLegend -> {"experiment", "theory"}, 
      LegendPosition -> {1, \(-0.3\)}, LegendShadow -> {0, 0}, 
      PlotLabel -> "n-dot-GaAs,
 440 µm"]\)\)\)

8. Interbandabsorption: Urbach Tail
Der Einsatz der Interbandabsorption in realen Proben ist meist nicht so scharf wie dies theoretisch aufgrund einer Abhängigkeit β(ω) ∝ (Sqrt[ℏω - (Subscript[E, g])])/ℏω für den Absorptionskoeffizienten zu erwarten ist. Der Übergang in den Bereich der Interbandabsorption erfolgt in der Regel  kontinuierlich mit einem exponentiellen Gesetz (Subscript[β, ur])(ω) =\(\(\(\ \)\(\(β\_0\) 
        e\^\(\(ω - ω\_0\)\/\(Δω \((T)\)\)\)\)\)\). Diese Abhängigkeit wird als "Urbach tail" bezeichnet und hat ihre Ursache z.B. in Störungen der idealen Periodizität des Kristallaufbaus. Die Frequenz (Subscript[ω, 0 ])liegt meist nahe bei der Frequenz der Energielücke.  Δω(T) gibt die Breite des "tails" an.

\(\(\( (*Eingabeparameter*) \)\(
\)\(Print[\*""\!\(β\_\(\(0\)\(\\ \)\)\)in cm-1""]

    β0 = 11

    Print[\*""\!\(ω\_\(\(0\)\(\\ \)\)\)in cm-1""]

    ν0 = 11075

    Print["Δω in cm-1"]

    Δν = 
      450

 (*Urbach\ tail*) 

    \(βur = β0*
          Exp[\(ν - ν0\)\/Δν];\)

 (*experimenteller\ Absorptionskoeffizient*) 

    \(βexp = 
        Interpolation[absorptionskoeffizient, 
          InterpolationOrder -> 
            1];\)

 (*Vergleich\ des\ experimentellen\ Absorptionskoeffizienten\ mit\ der\ Voraussage\ nach\ Urbach . \ Der\ Vergleich\ zeigt, \ 
      dass\ das\ Urbach\ "tail"\ um\ einen\ konstanten\ Faktor\ von\ 6.78\ cm - 1\ gegeüber\ dem\ Experiment\ nach\ oben\ verschoben\ werden\ muss . \ 
            Der\ Grund\ für\ diesen\ Faktor\ könnte\ durch\ eine\ zusätzliche\ Absorption\ infolge\ Band - 
        Störstellen - \ oder\ Störstellen - 
        Störstellen - Übergängen\ \(\(liegen\)\(.\)\)*) 


    LogPlot[{βexp[ν], βur + 6.78}, {ν, 8000, 11500}, 
      FrameLabel -> {"wave numbers (cm-1)", \*""Absorptionskoeffizient ((cm^(-1)))""}, 
      PlotLabel -> "n-dot-GaAs,
 440 µm"]\)\)\)

9. Interbandabsorption: Exzitonenbeitrag
Die optische Absorption an der Bandkante wird auch durch Vielteilchenphänomene beeinflusst. Mit der Anregung eines Elektrons aus dem Valenz- ins Leitungsband wird ein Wasserstoff-artiger Komplex gebildet, da das Elektron mit dem positiv geladenen Loch im Valenzband über die Coulomb-Wechselwirkung eine Bindung eingehen kann. Man spricht hier auch von einem Exziton oder gebundenen Elektron-Loch-Paar. Ähnlich wie ein Wasserstoffatom hat ein Exziton diskrete gebundene Zustände und ein höherenergetisches Kontinuumspektrum. Die diskreten Zustände führen zu Absorptionslinien mit Frequenzen ℏω = (Subscript[E, g])-\(\(R\^*\)\/n\^2\) (n = 1, 2, 3, ...), deren Intensitäten proportional (n^(-3)) skalieren. In der Gleichung steht\(\(\(\ \ \)\(\(R\^*\) = 
        13.6\ eV \( μ\/m\_e\) 1\/ϵ\_s\%2\)\)\) für die Rydberg-Konstante des Exzitons, μ =\(\(\(\ \)\(m\_c\%*\)\)\) \(\(m\_h\%*\)\)/(\(\(m\_c\%*\)\)+\(\(m\_h\%*\)\)) für die reduzierte Masse aus effektiver Loch- und Elektronenmasse und (Subscript[ϵ, s]) ist die relative dielektrische Konstante des Mediums. Für ℏω > (Subscript[E, g]) tragen Übergänge in das Exzitonenkontinuum zur Interbandabsorption bei. Die Bindungsenergie des Exzitons in GaAs ist mit etwa 5 meV recht klein, so dass bei Raumtemperatur mit einem starken Einfluss der Exzitonenionisierung zu rechnen ist. Diskrete Exzitonenlinien sind für GaAs bei 300 K nicht nachgewiesen, der Exzitoneneinfluss auf das Absorptionspektrum bei 300 K kann aber nicht generell vernachlässigt werden. Im Folgenden wollen wir insbesondere den Einfluss des Exzitonenkontinuums zur Interbandabsorption untersuchen. Optische Übergänge in das Exzitonenkontinuum führen zu einem Imaginärteil der dielektrischen Funktion  (Subscript[(((ϵ^″))), exc])(ω) = A\(\(\@\(ℏω - E\_g\)\/\((ℏω)\)\^2\) \(α\ e\^α\)\/sinhα\), wobei α = π\(\((\(|\)\(\(R\^*\)\/\(ℏω - E\_g\)\)\(|\))\)\^\(1/2\)\) ist. Im Grenzfall α -> 0, beschreibt die Gleichung die Interbandabsorption ohne Exzitonenbeitrag (ϵ^″)(ω) = A((Sqrt[ℏω - (Subscript[E, g])])/(((ℏω))^2)). Durch Variation von α kann der Grad der  Exzitonenionisierung simuliert und damit der Exzitoneneinfluss auf das Ergebnis einer Bandlückenbestimmung untersucht werden. Im Falle einer Auftragung von ((((ϵ^″) (ω) (ω^2)))^2) bzw. (((β (ω) ω))^2) gegen ω, wie in Abschnitt 7 beschrieben, erhält man eine anderen Wert für die Energielücke und das Impulsmatrixelement. Die Analyse des Exzitonenbeitrags demonstriert, dass die wahre Energielücke größer sein muss als die Lücke, die im Abschitt 7 ohne Berücksichtigung des Exzitonenbeitrags zur dielektrischen Funktion ermittelt wurde. Das Impulsmatrixelement, das in der obigen Auftragung die Steigung der Geraden bestimmt, sollte hingegen korrekt sein.

Clear[ϵiexc]

      
Print["Bandlücke in cm-1, willkürliche \
Annahme "]
νg = 11000
Print["dielektrische Konstante"]
ϵs = 10.5
\(Print[\*""effektive Elektronenmasse in \!\(m\_e\)""]\)
mc = 0.067
\(Print[\*""effektive Lochmasse in \!\(m\_e\)""]\)
mv = 0.082
\(Print[\*""Skalierungsfaktor A in \!\(cm\^\(\(-3\)/2\)\)""]\)
a = 
      1. 

  
n = (Sqrt[ϵ])s;

 (*reduzierte Masse in (Subscript[m, e])*) 
red1 = ((1/mc) + 
              (1/mv))^-1;

 (*Rydberg in cm - 1*) 
ryd = 
        109677*(red1/ϵ)s^2;

 (*Exzitonenparamter*) 
α = π*(Sqrt[Abs])[(ryd/(ν - νg))];
α1 = 
        0.5*π*(Sqrt[Abs])[(ryd/(ν - νg))];

 (*Imaginärteil von ϵ (ω) mit Exzitonenbeitrag*) 
ϵiexc = 
        If[ν ≤ νg, 0, 
          a*((((Sqrt[ν - νg])*α*Exp[α])/(ν^2*Sinh[α])))];
ϵiexc1 = 
        If[ν ≤ νg, 0, 
          a*((((Sqrt[ν - νg])*α1*Exp[α1])/(ν^2*Sinh[α1])))];
 (*Imaginärteil von ϵ (ω) ohne Exzitonenbeitrag*) 
ϵi = 
        If[ν ≤ νg, 0, 
          a*(((Sqrt[ν - νg])/ν)^2)];
 (*Absorptionskoeffizient mit Exzitonenbeitrag*) 
βexc = 
        2*π*ϵ(iexc/n) ν;
βexc1 = 
        2*π*ϵ(iexc1/n) ν;
 (*Absorptionskoeffizient ohne Exzitonenbeitrag*) 
βi = 
        2*π*ϵ(i/n) ν;


\(Plot[{ϵiexc, ϵiexc1, ϵi}, {ν, 10000, 
        15000}, FrameLabel -> {\*""wave numbers ((cm^(-1)))"", \*"" (ϵ^″) ""}, 
      PlotLegend -> {"full exciton", "half exciton", "no exciton"}, LegendPosition -> {1, \(-0.3\)}, 
      LegendShadow -> {0, 0}, PlotLabel -> "n-dot-GaAs,
 440 µm"]
\)
\(Plot[{\((ϵiexc*ν^2)\)^2, \((ϵiexc1*ν^2)\)^2, \((ϵi*ν^2)\)^2}, {ν, 10000, 15000}, 
      PlotRange -> {0, 3000}, 
      FrameLabel -> {\*""wave numbers ((cm^(-1)))"", \*""((ϵ^″)*ν^2)^2 ((cm^(-4)))""}, 
      PlotLegend -> {"full exciton", "half exciton", "no exciton"}, LegendPosition -> {1, \(-0.3\)}, 
      LegendShadow -> {0, 0}, PlotLabel -> "n-dot-GaAs,
 440 µm"]
\)
\(Plot[{βexc, βexc1, βi}, {ν, 10000, 15000}, 
      FrameLabel -> {\*""wave numbers ((cm^(-1)))"", \*""Absorptionskoeffizient β ((cm^(-1)))""}, 
      PlotLegend -> {"full exciton", "half exciton", "no exciton"}, LegendPosition -> {1, \(-0.3\)}, 
      LegendShadow -> {0, 0}, PlotLabel -> "n-dot-GaAs,
 440 µm"]
\)
\(Plot[{\((βexc*ν)\)^2, \((βexc1*ν)\)^2, \((βi*ν)\)^2}, {ν, 10000, 15000}, PlotRange -> {0, 12000}, 
      FrameLabel -> {\*""wave numbers ((cm^(-1)))"", \*""(β*ν)^2 ((cm^(-4)))""}, 
      PlotLegend -> {"full exciton", "half exciton", "no exciton"}, LegendPosition -> {1, \(-0.3\)}, 
      LegendShadow -> {0, 0}, PlotLabel -> "n-dot-GaAs,
 440 µm"]\)

9. Band-Störstellen-Absorption 
In Realhalbleitern existieren immer lokalisierte Zustände in der verbotenen Zone. Diese Zustände können gewollt, d.h. durch eine gezielte Verunreinigung des Materials, bedingt sein, bzw. unbeabsichtigt während des Kristallwachstums oder durch eine nachfolgende Kristallbehandlung (thermische und/oder mechanische Einflüsse) entstehen. In der Regel ist eine gewisse Verunreinigung nie zu vermeiden, man kann nur versuchen, durch eine Verbesserung technologischer Verfahren den Verunreinigungsgrad zu minimieren. Eine Klasse lokalisierter Zustände bezeichnet man als flache Störstellen, da ihre lokalisierten Zustände nahe an der Leitungs- ((Subscript[E, c]))  oder Valenzbandkante ((Subscript[E, v])) liegen. Im einfachsten Fall sind es einfach geladene Störstellen, die entweder Donator- oder Akzeptorcharakter haben. Die Zustände dieser flachen Störstellen können im Rahmen des Wasserstoffmodells berechnet werden. Die Bindungsenergien eines flachen Donators (D) bzw. Akzeptors (A) haben relativ zu den Bandkanten die Energien: (Subscript[E, D]) = (Subscript[E, c])  -  ((13, 6 eV)/(n^2)) ((Subscript[m, c])/(Subscript[m, e]))(1/(ϵ^2)) bzw .  (Subscript[E, A])= (Subscript[E, v]) + ((13, 6 eV)/(n^2))((Subscript[m, v])/(Subscript[m, e]))(1/(ϵ^2)). Optische Übergänge von einem Band in flache Stöstellenzustände können den Bereich der Interbandabsorption beeinflussen und die Auswertung der Bandlücke erschweren. Im Falle eines flachen einwertigen Donators (Entartung 2 wegen Spin), einfachen Energiedispersionen an den Bandkanten (parabolische Dispersionen mit effektiven Massen (Subscript[m, c]) und (Subscript[m, v])) und Vernachlässigung von Zustandsverbreiterungsmechanismen gilt für den Absoptionskoeffizienten infolge von Valenzband-Donator-Übergängen  β(ω) = \(\(64 \( e\^2\) ℏ \((\(|\)\(P\_cv\)\(|\))\)\^2\)\/\(n\ c\ \(ϵ\_0\) \(m\_e\%2\) E\_D\%\(3/2\)\)\) (((((Subscript[m, v])/(Subscript[m, c]))))^(3/2))(((Sqrt[ℏω + (Subscript[E, D]) - (Subscript[E, g])]))/(ℏω))\(\(\((1 + \(m\_v\/m\_c\) \(ℏω + E\_D - E\_g\)\/E\_D)\)\^\(-4\)\) \(N\_D\%+\)\), wobei \(\(N\_D\%+\)\)  die Dichte der ionisierten Donatoren ist. Im Folgenden wird demonstriert, das der Absorptionskoeffizient eine nahezu Delta-förmige Absorption bei der Energie ℏω  = (Subscript[E, g]) - (Subscript[E, D]) bedingt.

\(\(\(
\)\( (*Eingabeparameter*) \)\(
\)\(Print["Bandlücke in cm-1, willkürliche Annahme"]

    νg = 11075

    Print[\*""normierte effective Masse im Leitungsband in (Subscript[m, e])""]

    mc = 0.067

    Print[\*""normierte effective Masse im Valenzband in (Subscript[m, e])""]

    mv = 0.082

    Print["relative Dielektrizitätskonstante"]

    ϵs = 11

    Print["Impulsmatrixelement in 10^-25 kg m/s"]

    pcv = 1.35

    Print["Dichte der ionisierten Donatoren in 10^18 cm-3, willkürliche Annahme"]

    nd = 0.01

 (*Brechzahl*) 

    \(n = \@ϵs;\)

 (*Donator\ Ionisierungsenergie\ in\ cm - 1, \ 
      Quantenzahl\ n\  = \ 1*) 

    \(νd = 
        109677*mc\/ϵs^2;\)

 (*Absorptionskoeffizient\ in\ cm - 1*) 

    \(βstör = 
        2*10^10*If[ν ≤ νg - νd, 
            0, \(\(nd*
                    pcv^2\)\/\(n*νd^1.5\)\) \(\@\(ν + νd - νg\)\/ν\) \((mv\/mc)\)^1.5\ \((1 + \(mv\/mc\) \(ν + νd - νg\)\/νd)\)^\(-4\)];\)


    Plot[{βstör, βexp[ν]}, {ν, 10500, 11500}, 
      FrameLabel -> {\*""wave numbers ((cm^(-1)))"", \*""(Subscript[β, VB - Donator]) (cm-1)""}, 
      PlotRange -> {0, 100}, 
      PlotLabel -> "n-dot-GaAs, 440 µm", 
      PlotLegend -> {"theory", "experiment"}, 
      LegendPosition -> {1, \(-0.3\)}, 
      LegendShadow -> {0, 0}]\)\)\)

10. Band-Störstellen- und Störstellen-Störstellen-Absorption
Wenn flache Störstellen beteiligt sind, können Band-Störstellen- oder Störstellen-Störstellen-Übergänge den Absorptionskoeffizienten an der Bandlücke maskieren. In Folgendem wird untersucht, inwieweit Einflüsse der Dotierung auftreten können. Wir modulieren die dielektrische Funktion in der Form ϵ(ω) = (Subscript[ϵ, s])+\(\(\(N\ e\^2\)\/\(m\ ϵ\_0\)\) 
        f\/\(Ω\^2 - ω\^2 - iΓω\)\), wobei ℏΩ eine charakteristische Übergangsenergie ((Subscript[E, g])-(Subscript[E, D]) für Valenzband-Donator- und (Subscript[E, g])-(Subscript[E, D])-(Subscript[E, A]) für Akzeptor-Donator-Übergänge), f die Oszillatorstärke  und m eine charakteristische Masse sind. Der Parameter Γ ist ein Maß für die Zustandsverbreiterung bzw. Dämpfung des optischen Übergangs.

\(\(\(
\)\( (*Eingabeparameter*) \)\(
\)\(Print["Akzeptordichte in 10^18 cm-3"]

    na = 1.05

    Print["Oszillatorstärke des Übergangs"]

    f = 1

    Print["Dämpfung des optischen Übergangs in cm-1"]

    Γ = 35

    Print["Frequenz des optischen Übergangs in cm-1"]

    Ω = 11285

    Print[\*""normierte effective Masse im Leitungsband in (Subscript[m, e])""]

    mc = 0.067

    Print[\*""normierte effective Masse im Valenzband in (Subscript[m, e])""]

    mv = 0.082

    Print["relative Dielektrizitätskonstante"]

    ϵs = 11

    Print["Schichtdicke in cm"]

    d = 440*10^\(-4\)

 (*komplexe\ dielektrische\ funktion\ in\ Laboreinheiten*) 

    \(ϵ = ϵs + \(89688.8*na*f\)\/\(Ω^2 - ν^2 - I*Γ*ν\);\)

 (*Berechnung\ der\ Brechzahl*) 

    \(brechz = \@\(\(1\/2\) \((Re[ϵ] + \@\(Re[ϵ]^2 + Im[ϵ]^2\))\)\);\)

 (*Berechnung\ des\ Extinktionskoeffizienten*) 

    \(extinkt = \@\(\(1\/2\) \((\(-Re[ϵ]\) + \@\(Re[ϵ]^2 + Im[ϵ]^2\))\)\);\)

 (*Absorptionskoeffizient\ in\ cm - 1*) 

    \(βbb = 
        4*π*extinkt*ν;\)

 (*Reflexion\ am\ Halbraum*) 

    \(rgg = 
        Abs[\(\@ϵ - 1\)\/\(\@ϵ + 1\)]^2;\)

 (*Reflexion\ und\ Transmission\ einer\ planparallelen\ dielektrischen\ Schicht, \ 
      Reflexionseigenschaften\ der\ vorderen\ und\ der\ hinteren\ Grenzfläche\ seien\ gleich*) 

    \(trans = \(\((\((1 - rgg)\)^2)\)*Exp[\(-βbb\)*d]\)\/\(1 - \((rgg^2)\)*Exp[\(-2\)*βbb*d]\);\)

    \(ref = 
        rgg \( 1 + \((1 - 2*rgg)\)*Exp[\(-2\)*βbb*d]\)\/\(1 - \((rgg^2)\)*Exp[\(-2\)*βbb*d]\);\)

 (*Darstellung\ von\ Transmission\ und\ Reflexion*) 

    Plot[{trans, ref}, {ν, 1000, 15000}, PlotRange -> {0, 0.6}, 
      FrameLabel -> {\*""wave numbers ((cm^(-1)))"", "T,R"}, PlotLabel -> "n-dot-GaAs,
 440 µm", PlotLegend -> {"Transmission", "Reflexion"}, 
      LegendPosition -> {1, \(-0.3\)}, 
      LegendShadow -> {0, 
          0}]

 (*theoretischer\ Absorptionskoeffizient\ im\ Vergleich\ mit\ dem\ Experiment*) 

    Plot[{βbb, βexp[ν]}, {ν, 9000, 12000}, 
      PlotRange -> {0, 100}, 
      FrameLabel -> {\*""wave numbers ((cm^(-1)))"", "Absorptionskoeffizient (cm-1)"}, PlotLabel -> "n-dot-GaAs,
 440 µm", PlotLegend -> {"experiment", "theory"}, 
      LegendPosition -> {1, \(-0.3\)}, 
      LegendShadow -> {0, 
          0}]

 (*\((Absorptionskoeffizient*ω)\)^2 : \ 
        Vergleich\ zwischen\ Experiment\ und\ Theorie*) 

    Plot[{\((βbb*ν)\)^2, \((βexp[ν]*ν)\)^2}, {ν, 
        10500, 11500}, PlotRange -> {0, 10^12}, 
      FrameLabel -> {\*""wave numbers ((cm^(-1)))"", \*""(β*ν)^2 ((cm^(-4)))""}, 
      PlotLabel -> "n-dot-GaAs,
 440 µm", PlotLegend -> {"experiment", "theory"}, 
      LegendPosition -> {1, \(-0.3\)}, 
      LegendShadow -> {0, 
          0}]

 (*Darstellung\ der\ Brechzahl\ und\ Extinktionskoeffizient*) 

    Plot[{brechz}, {ν, 10500, 11500}, PlotRange -> {3.2, 3.4}, 
      FrameLabel -> {\*""wave numbers ((cm^(-1)))"", "Brechzahl n"}, PlotLabel -> "n-dot-GaAs,
 440 µm"]

 (*Darstellung\ des\ Extinktionskoeffizienten*) 

    Plot[{extinkt}, {ν, 10500, 11500}, 
      PlotRange -> {\(-0.01\), 0.05}, 
      FrameLabel -> {\*""wave numbers ((cm^(-1)))"", "Extinktionskoeffizient κ"}, PlotLabel -> "n-dot-GaAs,
 440 µm"]


 (*Donator\ Ionisierungsenergie\ in\ cm - 1, \ 
      Voraussetzung\ n\  >> \ κ*) 

    \(νd = 
        109677*mc\/ϵs^2;\)

 (*Akzeptor\ Ionisierungsenergie\ in\ cm - 1, \ 
      Voraussetzung\ n\  >> \ κ*) 

    \(νa = 
        109677*mv\/ϵs^2;\)


    Print["experimentelle Bandlücke in cm-1 für Valenzband-Donator-Übergang"]

    νg\_\(VB - Donator\) = Ω + νd


    Print["experimentelle Bandlücke in cm-1 für Akzeptor-Donator-Übergang"]

    νg\_\(Akzeptor - Donator\) = Ω + νd + νa


    Print["wahre Bandlücke für GaAs bei 300K in cm-1"]

    1424/0.124

    \)\)\)

11. Intrabandabsorption: Absorption freier Ladungsträger 
Freie Ladungsträger in einer dielektrischen Schicht mit dielektrischer Konstanten (Subscript[ϵ, s]) reflektieren elektromagnetische Strahlung stark bis zur sogenannten Plasmakante (Subscript[ω, pl])=(Sqrt[(((Subscript[n, e]) (e^2))/((Subscript[m, eff]) ϵ(Subscript[ϵ, 0])))]). Dort wird die Reflexion minimal. Oberhalb der Plasmakante steigt die Reflexion  wieder an und nimmt dann einen nahezu konstanten Wert an, der im Falle starker Absorption durch  ((((ϵ - 1))^2)/(((ϵ + 1))^2)) gegeben ist.  Der Einfluss freier Ladungsträger wird durch eine dielektrische Funktion ϵ(ω) = (Subscript[ϵ, s])+i((σ (ω))/ω)(Subscript[ϵ, 0])moduliert, wobei σ(ω) = \(\(\(\(\(n\_e\) \(e\^2\) τ\)\/m\_L\) \(1\/\(1 - iωτ\)\)\(\ \)\)\)die Hochfrequenzleitfähigkeit des Ladungsträgergases nach Drude wiedergibt. In dem Ausdruck für die Hochfrequenzleitfähigkeit ist (Subscript[n, e]) die Ladungsträgerdichte, τ die Stromrelaxationszeit  und (Subscript[m, L]) die Leitfähigkeitsmasse. Bewegen sich die Ladungsträger in einem isotropen und parabolischen Band mit effektiver Masse \(\(m\^*\)\) ist die Leitfähigkeitsmasse gleich der effektiven Masse. Dies ist nicht mehr der Fall für anisotrope Bänder. Im Falle von Silizium gilt zum Beispiel für die Elektronen (Subscript[m, L]) = 3((((1/(Subscript[m, long])) + (2/(Subscript[m, trans]))))^(-1)), mit der longitudinalen (Richtung [100]) Bandmasse (Subscript[m, long])= 0.98 (Subscript[m, e]) und der tranversalen (Richtungen senkrecht [100]) Masse (Subscript[m, trans])= 0.19 (Subscript[m, e]). Manche Halbleiter sind polar, d.h. das Gitter kann durch eine elektromagnetische Welle polarisiert werden. Wenn die optischen Phononenenergien vergleichbar mit der Energie der Plasmonenenergie werden, muss der Gitterbeitrag zur dielektrischen Funktion berücksichtigt werden. Der Gitterbeitrag hat die Form: \(ϵ\_s = ϵ \((∞)\) \((1 + \(ω\_LO\%2 - ω\_TO\%2\)\/\(ω\_TO\%2 - ω\^2 - iΓω\))\)\), wobei (Subscript[ω, TO]) und (Subscript[ω, LO]) die transversalen und longitudinalen optischen Phononenfrequenzen sind. Γ gibt die Phononendämpfung an und ϵ(∞) ist der Wert der deielektrischen Konstanten für ω >> (Subscript[ω, TO]). Die Plasmaschwingung koppelt dann an das Phononensystem und man erhält gekoppelte Plasmon-Phonon-Moden mit Frequenzen (Subscript[ω, pl - ph, ±]^2) = (1/( 2)){(Subscript[ω, LO]^2)+\(ω\_pl\%2 ± \@\(\((ω\_LO\%2 + ω\_pl\%2)\)\^2 - 4 \( ω\_pl\%2\) ω\_TO\%2\)\)}. Eine verminderte Reflexion wird dann bei diesen Frequenzen beobachtet. Im Rahmen des Drude-Modells (Vorausetzungen: ω>>(1/τ), n≃(Sqrt[ϵ (∞)]) und Gitterbeitrag zu ϵ vernachlässigt) gilt für den Absorptionskoeffizienten  der freien Ladungsträger β(ω) = ((Sqrt[ϵ (∞)])/c)((Subscript[ω, pl]^2)/(ω^2)) 
          (1/τ) ∝  (λ^2). Im Experiment beobachtet man meist eine Abhängigkeit ∝ (λ^m) mit 2 ≲ m ≲ 3. Trägt man β(λ) doppellogarithmisch auf, kann der Exponent m bestimmt werden. Im Folgenden wird das durch freie Ladungsträger bedingte Reflexionsverhalten einer dotierten GaAs-Schicht bei Raumtemperatur analysiert und mit dem Experiment verglichen.

Clear[ref, βabs]

      
Print["Trägerdichte in 10^18 cm^-3"]
ne = 1.05
Print["Streuzeit in 10^-12 s"]
τ = 0.1
Print["relative effektive Masse"]
meff = 0.067
Print["relative Dielektrizitätskonstante"]
ϵ∞ = 3.22^2
Print["LO Phononenfrequenz in cm-1"]
νLO = 292
Print["TO Phononenfrequenz in cm-1"]
νTO = 268
Print["Phononendämpfungskonstante in cm-1"]
Γ = 
      2.5


      
σ = 
        28202.2 (( ne*τ)/meff) 
          (1/(1 - I*0.188364*ν*τ));

 (*Dielektrizitätsfunktion,   x  =  
        Skalierungsfaktor für Gitterbeitrag*) 
ϵps[
          x_] := ϵ∞ (1 + 
                x*((νLO^2 - νTO^2)/(νTO^2 - ν^2 - I*ν*Γ))) + I  (σ/(1.66818*ν));

 (*Extinktionskoeffizient*) 
ext[x_] := 
        Im[(Sqrt[ϵ])ps[x]];

 (*Brechzahl*) 
brec[x_] := 
        Re[(Sqrt[ϵ])ps[x]];

 (*Absorptionskoeffizient*) 
βabs[x_] := 
        4*π*ext[
            x]*ν;


Print["Plasmafrequenz in cm-1"]
νp = 
      299.48 (Sqrt[ (ne/(meff*ϵ∞))])

    
Print["Frequenz der oberen Plasmon-Phonon-Mode in cm-1"]
νpp = (Sqrt[(1/2) (νLO^2 + νp^2) + (1/2) (Sqrt[(νLO^2 + νp^2)^2 - 4*νp^2*νTO^2])])

    
Print["Frequenz der unteren Plasmon-Phonon-Mode in cm-1"]
νpm = (Sqrt[(1/2) (νLO^2 + νp^2) - (1/2) (Sqrt[(νLO^2 + νp^2)^2 - 4*νp^2*νTO^2])])


     (*Reflexion am Halbraum*) 
rh[x_] := 
        Abs[(((Sqrt[ϵ])ps[x] - 1)/((Sqrt[ϵ])ps[x] + 1))]^2;

 (*Reflexion einer planparallelen Schicht*) 

ref[x_, d_] := 
        rh[x] ((1 + Exp[-2*βabs[x]*d] - 2*rh[x]*Exp[-2*βabs[x]*d])/(1 - (rh[x]^2)*Exp[-2*βabs[x]*d]));


 (*Einfluss der Schichtdicke d,  
      ohne Gitterbeitrag*) 
\(\(Plot[{rh[0], 0.01 + ref[0, 640*10^\(-4\)], 
          0.02 + ref[0, 440*10^\(-4\)], 
          0.03 + ref[0, 240*10^\(-4\)]}, {ν, 1, 2800}, 
        PlotRange -> {0, 1.1}, 
        FrameLabel -> {\*""wave numbers ((cm^(-1)))"", "Reflexion"}, 
        PlotLegend -> {"half space", "R+0.01,640 µm", "R+0.02,440 µm", "R+0.03,240 µm"}, 
        LegendPosition -> {1, \(-0.3\)}, LegendShadow -> {0, 0}, 
        PlotLabel -> "n-dot-GaAs, ϵ(ω) ohne Gitterbeitrag "];\)

 (*Einfluss\ der\ Schichtdicke\ d, \ mit\ Gitterbeitrag*) \)
\(\(Plot[{rh[1], 0.01 + ref[1, 640*10^\(-4\)], 
          0.02 + ref[1, 440*10^\(-4\)], 
          0.03 + ref[1, 240*10^\(-4\)]}, {ν, 1, 2800}, 
        PlotRange -> {0, 1.1}, 
        FrameLabel -> {\*""wave numbers ((cm^(-1)))"", "Reflexion"}, 
        PlotLegend -> {"half space", "R+0.01,640 µm", "R+0.02,440 µm", "R+0.03,240 µm"}, 
        LegendPosition -> {1, \(-0.3\)}, LegendShadow -> {0, 0}, 
        PlotLabel -> "n-dot-GaAs, ϵ(ω) mit Gitterbeitrag "];\)

 (*Vergleich\ des\ Experiments\ mit\ der\ Theorie\ \((mit\ Gitterbeitrag)\)*) \)
\(\(Plot[{ref[1, 640*10^\(-4\)], reflint[ν]}, {ν, 1, 2800}, 
        PlotRange -> {0, 1.1}, 
        FrameLabel -> {\*""wave numbers ((cm^(-1)))"", "Reflexion"}, 
        PlotLegend -> {"theory, 440 µm", "experiment"}, 
        LegendPosition -> {1, \(-0.3\)}, LegendShadow -> {0, 0}, 
        PlotLabel -> "n-dot-GaAs, ϵ(ω) mit Gitterbeitrag "];\)

 (*Exponent\ der\ Wellenlängenabhängigkeit\ des\ Absorptionskoeffizienten*) \)
Print["Exponent der Wellenlängenabhängigkeit \
von β"]
exponent = 3.1
\(\(\(LogLogPlot[{βexp[ν] /. ν -> 1\/λ, 
        2.25*10^11*λ^exponent}, {λ, 0.002, 0.00007}, 
      FrameLabel -> {"wave length (cm)", \*""Absorptionskoeffizient ((cm^(-1)))""}, 
      PlotRange -> {5, 250}, PlotLabel -> "n-dot-GaAs,
 440 µm"]\)\(
\)\(
\)\( (*Darstellung\ der\ optischen\ Konstanten*) \)\(
\)\(
\)
    \) (*Realteil\ von\ ϵ, \ 
      Vergleich\ mit\ und\ ohne\ Gitterbeitrag*) \)
\(\(\(Plot[{Re[ϵps[1]], Re[ϵps[0]]}, {ν, 0.1, 
        2000}, PlotRange -> {\(-20\), 20}, 
      FrameLabel -> {\*""wave numbers ((cm^(-1)))"", "Re(ϵ)"}, PlotLabel -> "n-dot-GaAs,
 440 µm", 
      PlotLegend -> {"mit Gitterbeitrag", "ohne Gitterbeitrag"}, 
      LegendPosition -> {1, \(-0.3\)}, 
      LegendShadow -> {0, 
          0}]\)\(
\)\(
\)
    \) (*Imaginärteil\ von\ ϵ, \ 
      Vergleich\ mit\ und\ ohne\ Gitterbeitrag*) \)
\(\(\(Plot[{Im[ϵps[1]], Im[ϵps[0]]}, {ν, 0.1, 
        2000}, PlotRange -> {\(-1\), 20}, 
      FrameLabel -> {\*""wave numbers ((cm^(-1)))"", "Im(ϵ)"}, PlotLabel -> "n-dot-GaAs,
 440 µm", 
      PlotLegend -> {"mit Gitterbeitrag", "ohne Gitterbeitrag"}, 
      LegendPosition -> {1, \(-0.3\)}, 
      LegendShadow -> {0, 
          0}]\)\(
\)\(
\)
    \) (*Brechzahl, \ 
      Vergleich\ mit\ und\ ohne\ Gitterbeitrag*) \)
\(\(\(Plot[{brec[1], brec[0]}, {ν, 0.1, 2000}, 
      PlotRange -> {0, 5}, 
      FrameLabel -> {\*""wave numbers ((cm^(-1)))"", "Brechzahl"}, PlotLabel -> "n-dot-GaAs,
 440 µm", 
      PlotLegend -> {"mit Gitterbeitrag", "ohne Gitterbeitrag"}, 
      LegendPosition -> {1, \(-0.3\)}, 
      LegendShadow -> {0, 
          0}]\)\(
\)\(
\)
    \) (*Extinktionskoeffizient, \ 
      Vergleich\ mit\ und\ ohne\ Gitterbeitrag*) \)
\(\(\(Plot[{ext[1], ext[0]}, {ν, 0.1, 2000}, 
      PlotRange -> {0, 20}, 
      FrameLabel -> {\*""wave numbers ((cm^(-1)))"", "Extinktionskoeffizient"}, 
      PlotLabel -> "n-dot-GaAs, 440 µm", 
      PlotLegend -> {"mit Gitterbeitrag", "ohne Gitterbeitrag"}, 
      LegendPosition -> {1, \(-0.3\)}, 
      LegendShadow -> {0, 
          0}]\)\(
\)\(
\)
    \) (*Absorptionskoeffizient, \ 
      Vergleich\ mit\ und\ ohne\ Gitterbeitrag*) \)
\(\(\(Plot[{βabs[1], βabs[0]}, {ν, 0.1, 2000}, 
      PlotRange -> {0, 20000}, 
      FrameLabel -> {\*""wave numbers ((cm^(-1)))"", "Absorptionskoeffizient (cm-1)"}, 
      PlotLabel -> "n-dot-GaAs, 440 µm", 
      PlotLegend -> {"mit Gitterbeitrag", "ohne Gitterbeitrag"}, 
      LegendPosition -> {1, \(-0.3\)}, 
      LegendShadow -> {0, 0}]\)\(
\)
    \)\)

12. Reflexion eines Metalls
Die Reflexion eines Metalls wird qualitativ ähnlich wie im Falle einer dotierten dielektrischen Schicht behandelt.  Der Einfluss der freien Ladungsträger wird durch eine dielektrische Funktion ϵ(ω) = (Subscript[ϵ, s])+i((σ (ω))/ω)(Subscript[ϵ, 0])moduliert, wobei (Subscript[ϵ, s]) = 1 zu setzen ist. In dem Ausdruck für die  Hochfrequenzleitfähigkeit σ(ω) = (((Subscript[n, e]) (e^2) τ)/(Subscript[m, L])) 
        (1/(1 - iωτ)) ist (Subscript[m, L ])durch die freie Elektronenmasse (Subscript[m, e]) und (Subscript[n, e]) durch die entsprechende Elektronendichte des Metalls zu ersetzen.

Clear[τ]

      
Print["Trägerdichte in 10^18 cm^-3, hier: Gold"]
ne = 5.9*10^4
Print["relative effektive Masse"]
meff = 1
Print["relative Dielektrizitätskonstante"]
ϵs = 1


      
σ = 
        28202.2 (( ne*τ)/meff) 
          (1/(1 - I*0.188364*ν*τ));

 (*Dielektrizitätsfunktion*) 
ϵ = ϵs + I  (σ/(1.66818*ν));

    
Print["Plasmafrequenz in cm-1"]
νp = 
      299.48 (Sqrt[ (ne/(meff*ϵs))])


     (*Reflexion am Halbraum*) 
rhm = 
        Abs[(((Sqrt[ϵ]) - 1)/((Sqrt[ϵ]) + 1))]^2;

 (*Reflexion eines Metalls,  
      Halbraumgeometrie,  
      Abhängigkeit von der Streuzeit*) 
\(\(Plot[{rhm /. τ -> 0.1, rhm /. τ -> 0.01, 
          rhm /. τ -> 0.001, rhm /. τ -> 0.0001}, {ν, 1, 
          150000}, PlotRange -> {0, 1.1}, 
        FrameLabel -> {\*""wave numbers ((cm^(-1)))"", "Reflexion"}, 
        PlotLegend -> {"τ = 0.1 ps", "τ = 0.01 ps", "τ = 0.001 ps", "τ = 0.0001 ps"}, 
        LegendPosition -> {1, \(-0.3\)}, LegendShadow -> {0, 0}, 
        PlotLabel -> "Goldspiegel "];\)\)